Equilibrio di Nash. Teoria dei giochi per economisti (John Nash)

2024 Autore: Henry Conors | [email protected]. Ultima modifica: 2024-02-12 09:12

Negli anni '30, John von Neumann e Oscar Morgenstern divennero i fondatori di una nuova e interessante branca della matematica chiamata "teoria dei giochi". Negli anni '50, il giovane matematico John Nash si interessò a questa direzione. La teoria dell'equilibrio divenne oggetto della sua dissertazione, che scrisse all'età di 21 anni. Nacque così una nuova strategia di gioco chiamata "Nash Equilibrium", che vinse il Premio Nobel molti anni dopo - nel 1994.

Il lungo divario tra la stesura di una dissertazione e il riconoscimento generale è diventato un test per un matematico. Il genio senza riconoscimento ha provocato gravi disturbi mentali, ma John Nash è stato in grado di risolvere questo problema grazie alla sua eccellente mente logica. La sua teoria dell'equilibrio di Nash ha vinto un premio Nobel e la sua vita è stata filmata in Beautiful mind.

In breve sulla teoria dei giochi

Poiché la teoria dell'equilibrio di Nash spiega il comportamento delle persone nelle condizioni di interazione, vale la pena considerare i concetti base della teoria dei giochi.

La teoria dei giochi studia il comportamento dei partecipanti (agenti) in termini di interazione tra loro come un gioco, quando il risultato dipende dalla decisione e dal comportamento di più persone. Il partecipante prende decisioni in base alle sue previsioni sul comportamento degli altri, che è chiamata strategia di gioco.

C'è anche una strategia dominante in cui il partecipante ottiene il miglior risultato per qualsiasi comportamento degli altri partecipanti. Questa è la migliore strategia vantaggiosa per tutti del giocatore.

Il dilemma del prigioniero e la svolta scientifica

Il dilemma del prigioniero è il caso di un gioco in cui i partecipanti sono costretti a prendere decisioni razionali, raggiungendo un obiettivo comune di fronte a un conflitto di alternative. La domanda è quale di queste opzioni sceglierà, realizzando l'interesse personale e generale, nonché l'impossibilità di ottenerle entrambe. I giocatori sembrano essere imprigionati in un ambiente di gioco difficile, che a volte li fa pensare in modo molto produttivo.

Questo dilemma è stato esplorato dal matematico americano John Nash. L'equilibrio che ha trovato è stato rivoluzionario a modo suo. Particolarmente brillantemente questo nuovo pensiero ha influenzato l'opinione degli economisti su come gli attori del mercato effettuano le scelte, tenendo conto degli interessi degli altri, con una stretta interazione e intersezione di interessi.

È meglio studiare la teoria dei giochi attraverso esempi concreti, poiché questa disciplina matematica in sé non è puramente teorica.

Esempio di dilemma del prigioniero

Esempio, due persone hanno commesso una rapina, sono cadute nelle mani della polizia e vengono interrogate in celle separate. Allo stesso tempo, gli agenti di polizia offrono a ciascun partecipante condizioni favorevoli alle quali sarà rilasciato se testimonierà contro il suo partner. Ciascuno dii criminali hanno la seguente serie di strategie che prenderà in considerazione:

Entrambi testimoniano contemporaneamente e finiscono in prigione per 2 anni e mezzo.
Entrambi sono muti allo stesso tempo e ricevono 1 anno ciascuno, perché in questo caso la base di prove della loro colpa sarà piccola.
Uno testimonia e viene rilasciato, mentre l' altro tace e viene condannato a 5 anni di prigione.

Ovviamente, l'esito del caso dipende dalla decisione di entrambi i partecipanti, ma non possono essere d'accordo, perché si trovano in celle diverse. È anche chiaramente visibile il conflitto dei loro interessi personali nella lotta per un interesse comune. Ciascuno dei prigionieri ha due opzioni per l'azione e 4 opzioni per i risultati.

Catena di inferenze logiche

Quindi, l'autore del reato A sta considerando le seguenti opzioni:

Sono muto e il mio partner tace - entrambi avremo 1 anno di prigione.
Consegno il mio partner e lui consegna me - entrambi subiamo 2 anni e mezzo di prigione.
Sto in silenzio e il mio partner mi tradisce - Mi faranno 5 anni di prigione e lui sarà libero.
Consegno il mio partner, ma lui tace - ottengo la libertà e lui riceve 5 anni di prigione.

Diamo una matrice di possibili soluzioni e risultati per chiarezza.

Tabella dei possibili esiti del dilemma del prigioniero.

La domanda è: cosa sceglierà ogni concorrente?

"Stai zitto, non puoi parlare" o "Non puoi tacere, non puoi parlare"

Per capire la scelta del partecipante, devi passare attraverso la catena dei suoi pensieri. Seguendo il ragionamento del criminale A: se taccio e il mio compagno tace, avremo un termine minimo (1 anno), ma ioNon so come si comporterà. Se testimonia contro di me, allora è meglio per me testimoniare, altrimenti posso sedermi per 5 anni. Preferirei sedermi per 2,5 anni piuttosto che 5 anni. Se tace, tanto più devo testimoniare, perché così otterrò la mia libertà. Partecipante B.

Non è difficile vedere che la strategia dominante per ciascuno degli autori è quella di testimoniare. Il punto ottimale di questo gioco arriva quando entrambi i criminali testimoniano e ricevono il loro "premio" - 2,5 anni di prigione. La teoria dei giochi di Nash chiama questo equilibrio.

Soluzione di Nash ottimale non ottimale

La natura rivoluzionaria della visione nashiana è che un tale equilibrio non è ottimale quando si considera il partecipante individuale e il suo interesse personale. Dopotutto, l'opzione migliore è rimanere in silenzio e diventare liberi.

L'equilibrio di Nash è un punto di convergenza di interessi, in cui ogni partecipante sceglie l'opzione che è ottimale per lui solo se gli altri partecipanti scelgono una determinata strategia.

Considerando l'opzione quando entrambi i criminali tacciono e ricevono solo 1 anno, possiamo definirla un'opzione Pareto-ottimale. Tuttavia, è possibile solo se i criminali potessero concordare in anticipo. Ma anche questo non garantirebbe questo esito, dal momento che la tentazione di ritirarsi dall'accordo ed evitare la punizione è grande. La mancanza di completa fiducia reciproca e il pericolo di essere costretti a 5 anni a scegliere l'opzione con riconoscimento. Rifletti su ciò a cui i partecipanti aderirannol'opzione con il silenzio, agire di concerto, è semplicemente irrazionale. Si può trarre tale conclusione se studiamo l'equilibrio di Nash. Gli esempi danno solo ragione.

Egoista o razionale

La teoria dell'equilibrio di Nash ha prodotto conclusioni sorprendenti che smentivano i principi che esistevano prima. Ad esempio, Adam Smith ha considerato il comportamento di ciascuno dei partecipanti come completamente egoistico, il che ha portato il sistema in equilibrio. Questa teoria è stata chiamata la "mano invisibile del mercato".

John Nash ha visto che se tutti i partecipanti agiscono nel proprio interesse, questo non porterà mai a un risultato di gruppo ottimale. Dato che il pensiero razionale è insito in ogni partecipante, la scelta offerta dalla strategia di equilibrio di Nash è più probabile.

Esperimento puramente maschile

Un ottimo esempio è il gioco del paradosso biondo, che, sebbene apparentemente fuori luogo, è una chiara illustrazione di come funziona la teoria dei giochi di Nash.

In questo gioco devi immaginare che una compagnia di ragazzi liberi sia venuta in un bar. Lì vicino c'è una compagnia di ragazze, una delle quali è preferibile ad altre, diciamo una bionda. Come si comportano i ragazzi per ottenere la migliore ragazza per se stessi?

Quindi, il ragionamento dei ragazzi: se tutti iniziano a fare conoscenza con la bionda, molto probabilmente nessuno lo capirà, quindi i suoi amici non vorranno fare conoscenza. Nessuno vuole essere il secondo ripiego. Ma se i ragazzi scelgono di evitarebionda, allora la probabilità che ciascuno dei ragazzi trovi una brava ragazza tra le ragazze è alta.

La situazione di equilibrio di Nash non è ottimale per i ragazzi, perché, perseguendo solo i propri interessi egoistici, ognuno sceglierebbe il biondo. Si può vedere che il perseguimento dei soli interessi egoistici equivarrà al crollo degli interessi di gruppo. L'equilibrio di Nash significherà che ogni ragazzo agisce nel proprio interesse, che è in contatto con gli interessi dell'intero gruppo. Questa non è l'opzione migliore per tutti personalmente, ma la migliore per tutti, in base alla strategia generale per il successo.

Tutta la nostra vita è un gioco

Il processo decisionale nel mondo reale è molto simile a un gioco in cui ti aspetti determinati comportamenti razionali anche dagli altri partecipanti. Negli affari, al lavoro, in una squadra, in un'azienda e anche nei rapporti con l' altro sesso. Dai grandi affari alle situazioni di vita ordinaria, tutto obbedisce a una legge o all' altra.

Ovviamente, le situazioni di gioco sopra con criminali e un bar sono solo eccellenti illustrazioni che dimostrano l'equilibrio di Nash. Esempi di tali dilemmi sorgono molto spesso nel mercato reale, e questo funziona soprattutto nei casi in cui due monopolisti controllano il mercato.

Strategie miste

Spesso non siamo coinvolti in uno, ma in più giochi contemporaneamente. Scegliendo una delle opzioni in un gioco, guidati da una strategia razionale, ma finisci in un altro gioco. Dopo alcune decisioni razionali, potresti scoprire che il tuo risultato non è di tuo gradimento. Che cosaprendi?

Consideriamo due tipi di strategia:

La pura strategia è il comportamento del partecipante, che deriva dal pensare al possibile comportamento degli altri partecipanti.
Strategia mista o strategia casuale è l' alternanza di strategie pure a caso o la scelta di una strategia pura con una certa probabilità. Questa strategia è anche chiamata randomizzata.

Considerando questo comportamento, diamo una nuova occhiata all'equilibrio di Nash. Se prima si diceva che il giocatore sceglie una strategia una volta, allora si può immaginare un altro comportamento. Si può presumere che i giocatori scelgano una strategia in modo casuale con una certa probabilità. I giochi che non riescono a trovare gli equilibri di Nash nelle strategie pure li hanno sempre nelle strategie miste.

L'equilibrio di Nash nelle strategie miste è chiamato equilibrio misto. Questo è un equilibrio in cui ogni partecipante sceglie la frequenza ottimale per scegliere le proprie strategie, a condizione che gli altri partecipanti scelgano le proprie strategie con una determinata frequenza.

Penalità e strategia mista

Un esempio di strategia mista può essere trovato nel gioco del calcio. La migliore illustrazione di una strategia mista è forse un rigore. Quindi, abbiamo un portiere che può s altare solo in un angolo e un giocatore che prenderà il rigore.

Quindi, se la prima volta il giocatore sceglie la strategia per tirare all'angolo sinistro e anche il portiere cade in questo angolo e prende la palla, come possono evolversi le cose la seconda volta? Se il giocatorecolpirà nell'angolo opposto, questo è molto probabilmente troppo ovvio, ma colpire nello stesso angolo non è meno ovvio. Pertanto, sia il portiere che il calciatore non hanno altra scelta che affidarsi a una selezione casuale.

Così, alternando una selezione casuale con una certa strategia pura, il giocatore e il portiere cercano di ottenere il massimo risultato.